Divisors on graphs, Connected flags, and Syzygies

We study the binomial and monomial ideals arising from linear equivalence of divisors on graphs from the point of view of Gröbner theory. We give an explicit description of a minimal Gröbner basis for each higher syzygy module. In each case the given minimal Gröbner basis is also a minimal generating set. The Betti numbers of IG and its initial ideal (with respect to a natural term order) coincide and they correspond to the number of “connected flags” in G. Moreover, the Betti numbers are independent of the characteristic of the base field. Résumé. Nous étudions les idéaux monômiaux et binomiaux résultant de l’équivalence linéaire de diviseurs sur les graphes du point de vue de la théorie de Gröbner. Nous donnons une description explicite d’une base de Gröbner minimale pour chaque module engendré par une syzygie d’ordre supérieur. Dans chaque cas, cette base de Gröbner minimale est aussi une ensemble generateur minimal. Les nombres de Betti de IG et son idéal initial coı̈ncident et correspondent au nombre de drapeaux connexes de G. En particulier, les nombres de Betti sont indépendants de la caractéristique du corps de référence.